解析：

如图所示，在截面面积固定不变的情况下，要让棱长尽量小，则截面尽量大。正方体中满足切掉一个角的最大的截面如虚线所示，其面积是。由于三条虚线都是正方体的面对角线，彼此相等，所以是正三角形。
假设该正三角形边长为，则正三角形面积为：，解得，则正方体其中一个面的对角线长度为20，正方体边长为，已知棱长为整数，则其最小值为15。
注意：有的截面积更大的切法，不满足切下来的必须是一个角的要求，故错误。
故正确答案为A。