解析：
《民法总则》第一百二十一条规定：“没有法定的或者约定的义务，为避免他人利益受损失而进行管理的人，有权请求受益人偿还由此支出的必要费用”。乙送甲去医院是为了甲的利益，有权要求受益人甲偿还由此支出的必要费用。乙对甲的手机没有保管义务，甲手机丢失，乙无过错，所以甲手机丢失的责任不由乙赔偿。
故正确答案为C。