解析：
第一空，所填词语与“兢兢业业”形成并列，语义相近，“兢兢业业”形容做事小心谨慎；认真踏实。B项“恪尽职守”指谨慎认真地做好本职工作，C项“如履薄冰” 比喻行事极为谨慎，存有戒心，D项“谨言慎行”形容人言语行动小心谨慎，三项均符合文意。A项“身体力行“指亲身体验，努力实行，侧重自己去做，与是否谨慎无关，排除。
第二空，根据前文的“规避责任的遁词和主观臆断的托词”可知，在认识历史的问题上具有主观性，故“相信历史毫无客观性可言”符合文意，C项“客观性”当选。
B项“公平性”强调的是公正，与偏私语义相反；D项“系统性”强调的是整体性，与零散语义相反，两项均与前文“主观”无法形成对应关系，排除。
故正确答案为C。
【文段出处】《历史研究须正心术》