解析：
第一空，文段开篇指出筹算应用时间久，对中国古代数学的发展功不可没，接下来通过转折词“但”指出筹算有“运算过程不保留”这一严重缺点，“因而”为结论词，表示运算过程不能保留产生的结果，即筹算没有传承下来。A项“形同虚设”指形式上虽有，却不起作用，而由“运算过程又不能保留”可知，筹算在形式上也存在，排除；D项“难以为继”表示很难再继续下去，强调“难”，体现不出失传的含义，排除。B项“销声匿迹”指隐藏起来、不公开露面；C项“后继无人”表示无人传承，强调“无”，二者均符合文意，。
第二空，由前文“不能发展为现代数学”可知，横线处应填写一个语义消极的词语，C项“限制”指约束，符合文意。B项“片面”指不全面，偏于一方面，文段中并未体现出“片面”之意，排除。
故正确答案为C。
【文段出处】《中国古代的算筹和筹算》