解析：
由于连续的1-12日值班，日期数字为公差是1的等差数列，总和为，同时又由“三人各自值班日期数字之和相等”可知，每人的数字和为，所以已知甲值班在1日和2日，，所以剩余的日期中11日和12日也必须是他值班；同理，乙9日和10日值班，，则3日和4日必须安排乙值班。所以剩下的5、6、7、8日就只能让丙值班，既然丙连续值班，所以他在自己第一天与最后一天值班之间没有休息日。
故正确答案为D。